Question

当x∈（1，2）时，不等式x²+1＜2x+log_ax恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2]
C．（1，2）
D．[2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式x²+1＜2x+log_ax恒成立，则a＞1，y=log_ax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
解答：解：∵x∈（1，2）时，不等式x²+1＜2x+log_ax恒成立，即x∈（1，2）时，log_ax＞（x-1）²恒成立．
∵函数y=（x-1）²在区间（1，2）上单调递增，
∴当x∈（1，2）时，y=（x-1）²∈（0，1），
∴若不等式log_ax＞（x-1）²恒成立，
则a＞1且log_a2≥1，故1＜a≤2．
即a∈（1，2]，
故选B．
点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．