Question

对于函数f（x）=

1

3

|x3|- 

a

2

x2+（3-a）|x|+b，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由偶函数的定义，可知函数f（x）是偶函数，从而易得f（-2），同时，若f（x）有六个不同的单调区间，则由函数为偶函数，则只要证明函数在（0，+∞）上有三个单调区间即可．即：f′（x）=0有两个不同的正根．

解答：解：∵函数f（x）=

1

3

|x3|- 

a

2

x2+（3-a）|x|+b
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函数
∵f（2）=7，
∴f（-2）=7
∵f（x）有六个不同的单调区间
又因为函数为偶函数
∴当x＞0时，有三个单调区间
即：f′（x）=x²-ax+3-a=0有两个不同的正根
∴

a 2 ＞0 3-a＞0 a2+4a-12＞0

解得：2＜a＜3
故答案为：（2，3）

点评：本题主要考查函数的奇偶性及对称性，还考查了根的分布问题，这类问题主要通过对称轴，端点值和判别式解决．