Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，

1

2

）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S_△ABC=1；当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1
 （II）当BC垂直于x轴时，BC=2，S_△ABC=1
当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

x2

4

+y2=1
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（ -

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
则 |BC|=4

1+k2

1+4k2

，又点A到直线BC的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

要使△ABC面积的最大值，则k＜0
由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，当k=-

1

2

时，等号成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型，利用基本不等式求解．