题目内容

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a_m=15，前m项的和S_m=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，且数列{b_n}的前n项和T_n＜M对一切n∈N₊恒成立，求实数M的取值范围．

解：（1）设数列的公差为d，则
∵a₁=1，a_m=15，前m项的和S_m=64
∴ $\text{[math]}$ ，∴d=2，m=8
∴a_n=2n-1；
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
∴T_n= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∵数列{b_n}的前n项和T_n＜M对一切n∈N₊恒成立，
∴M≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设数列的公差为d，利用a₁=1，a_m=15，前m项的和S_m=64，建立方程组，求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，求出数列{b_n}的前n项和，即可求实数M的取值范围．
点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．