Question

（理科做：）已知A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求两焦点的坐标；
（II）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出其值；若不是定值，则说明理由．

Answer 1

分析：（I）由|AF₁|+|AF₂|=4，知a=2，设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，把（1，1）代入，得

1

4

+

1

b2

=1，得b2=

4

3

，由此能求出两焦点的坐标．
（II）设AC：y=k（x-1）+1，联立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，由A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为x_A=1，知xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，由AC与AD的倾斜角互补，能推导出CD的斜率为定值．

解答：解：（I）∵|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，∴a=2，
设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，
把（1，1）代入，得

1

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

，
∴c2=4-

4

3

=

8

3

，
∴两焦点的坐标F1(-

2 6

3

，0)，F2(

2 6

3

，0)．
（II）设AC：y=k（x-1）+1，
联立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

，
得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，
∵A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为x_A=1，
∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，
∵AC与AD的倾斜角互补，
∴AD为：y=-k（x-1）+1，
同理，xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，
∵y_C=k（x_C-1）+1，
y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k，
∴kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

．
故CD的斜率为定值

1

3

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查论证推导能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．