Question

点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上运动，则|PQ|+|PR|的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F₁，F₂，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1，同理：|PR|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1，从而可求|PQ|+|PR|的取值范围．
解答：解：椭圆的两焦点为（-1，0），（1，0），恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．
设椭圆左右焦点为F₁，F₂，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1
同理：|PR|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1
∴|PQ|+|PR|的最小为|PF₁|+|PF₂|-2=2×2-2=2，最大为|PF₁|+|PF₂|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的取值范围为[2，6]
故答案为：[2，6]
点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查线段和的取值范围问题，解题的关键是利用椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．