Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数的图象可得

T

4

=

π

3

-

π

12

，由此求得周期T的值．设所给的图象中最低点的横坐标为a，由函数的周期性求得a的值，结合图象写出函数的单调减区间．
（Ⅱ）由周期T求得ω=2，再由点（

π

12

，0）在函数的图象上可得sin（2×

π

12

+φ）=0，根据φ的范围求得φ的值．

解答：解：（Ⅰ）根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象可得

T

4

=

π

3

-

π

12

，
由此解得函数的最小正周期为T=π．
设所给的图象中最低点的横坐标为a，由题意可得

π

3

-

π

12

=

π

12

-a，a=-

π

6

．
由于-

π

6

-

T

2

=-

π

6

-

π

2

=-

2π

3

，故函数的一个单调减区间为[-

2π

3

，-

π

6

]，
故函数的单调减区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）T=π=

2π

ω

，可得ω=2．再由点（

π

12

，0）在函数的图象上，可得sin（2×

π

12

+φ）=0．
由于|φ|＜

π

2

，∴φ=-

π

6

，故f(x)=sin(2x-

π

6

)．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，属于中档题．