题目内容
实数x，y满足22x+y+2x+2y=4x+4y，则
+
的最大值是 ．
| 1 |
| 4x |
| 1 |
| 4y |
分析：令2x=a＞0，2y=b＞0．原题变为：“已知正实数a，b满足a2b+ab2=a2+b2，求
+
的最大值．”．由于a2b+ab2=a2+b2，a＞0，b＞0，变形并利用基本不等式可得
+
=
+
≤
，令t=
+
＞0，则t2-2t≤0，解出即可．
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
2(
|
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
解答：解：令2x=a＞0，2y=b＞0．
则原题变为：“已知正实数a，b满足a2b+ab2=a2+b2，求
+
的最大值．”．
∵a2b+ab2=a2+b2，a＞0，b＞0，
∴
+
=
+
≤
，
令t=
+
＞0，则t2-2t≤0，
解得0＜t≤2，
∴t的最大值是2，即
+
的最大值是2．
故答案为：2．
则原题变为：“已知正实数a，b满足a2b+ab2=a2+b2，求
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
∵a2b+ab2=a2+b2，a＞0，b＞0，
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
2(
|
令t=
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
解得0＜t≤2，
∴t的最大值是2，即
| 1 |
| 4x |
| 1 |
| 4y |
故答案为：2．
点评：本题考查了“换元法”、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于难题．
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