Question

如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的判定与性质，结合题意证出AE⊥BC且AE⊥BF，可得AE⊥平面BCE，再结合BE?平面BCE，即可证出AE⊥BE；
（2）取DE的中点P，连接PA、PN，利用三角形中位线定理和矩形的性质，证出PN∥AM且PN=AM，可得四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，结合线面平行判定定理，即可证出MN∥平面DAE．

解答：解：（1）∵BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，
∴AE⊥BC，…（2分）
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴AE⊥BF，…（4分）
又∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE…（6分）
∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE．       …（8分）
（2）取DE的中点P，连接PA、PN，因为点N为线段CE的中点．
所以PN∥DC，且PN=

1

2

DC，…（10分）
又∵四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
∴AM∥DC，且AM=

1

2

DC，
∴PN∥AM，且PN=AM，可得四边形AMNP是平行四边形，MN∥AP…（12分）
∵AP?平面DAE，MN?平面DAE，
∴MN∥平面DAE．　  …（14分）

点评：本题给出四棱锥，求证直线与直线垂直、直线与平面平行等知识，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识，属于中档题．