Question

在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1米，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4厘米．据此推算，到2050年底该地区将有10千米²水面面积．请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？（提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为s=πr²）

Answer 1

分析：首先由题意建立适当的平面直角坐标系，设出在所建坐标系下的双曲线方程为y2-

x2

b2

=1，根据题意，即到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米²，相当于知道了双曲线上一个点的坐标，整体代入双曲线方程后可求b²，即双曲线的方程可求，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米，在双曲线方程中把y代4整体求出πx²的值即可．

解答：解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，

据题意可设曲线方程为y2-

x2

b2

=1①，
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米²，
即当y=2时，πx²=10⁷，代入①得，b2=

107

3π

．
故双曲线方程为y2-

3πx2

107

=1②，
照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．
把y=4代入②得，πx²=50×10⁶．
所以该地区在2100年底将有水面面积50千米²．

点评：本题考查了双曲线的应用，考查了整体运算思想，解答此题的关键在于读懂题意，是中档题．