Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．

Answer 1

分析：（1）直线l的方程可化为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，要使直线l恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得

2x+y-7=0 x+y-4=0

，易得定点；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短

解答：解：（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0（3分）联立

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得

x=3 y=1

（5分）
所以直线恒过定点（3，1）（6分）
（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）
当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短
直线l的斜率为k=-

2m+1

m+1

，kCP=

1-2

3-1

=-

1

2

由-

2m+1

m+1

．(-

1

2

)=-1解得m=-

3

4

此时直线l的方程是2x-y-5=0
圆心C（1，2）到直线2x-y-5=0的距离为d=

|2-2-5|

5

=

5

）

|AP|=|BP|= r2-d2 = 25-5 =2 5

所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4

5

（12分）

点评：本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题