Question

（2012•江苏一模）若a₁x≤sinx≤a₂x对任意的x∈[0，

π

2

]都成立，则a₂-a₁的最小值为

1-

2

π

．

Answer 1

分析：确定x∈[0，

π

2

]时，y=sinx在直线y=x下方，在直线y=

2

π

x上方，由此可求a₂-a₁的最小值．

解答：解：y=sinx求导可得y′=cosx，则x=0时，y′=1，∴x∈[0，

π

2

]时，y=sinx的图象与直线y=x相切，
过点（

π

2

，1），（0，0）的直线方程为y=

2

π

x
则x∈[0，

π

2

]时，y=sinx在直线y=x下方，在直线y=

2

π

x上方
∴a₁x≤sinx≤a₂x对任意的x∈[0，

π

2

]都成立时，a₂-a₁的最小值为1-

2

π

故答案为：1-

2

π

点评：本题考查直线的两个特殊位置，考查恒成立问题，属于中档题．