Question

17．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边．
（1）若$\frac{b}{a-b}$=$\frac{sinC}{sinA-sinC}$，判断△ABC的形状；
（2）若a=2，B=$\frac{π}{6}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求边长b的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理可得sinB=sinC，故有B=C，可得△ABC为等腰三角形．
（2）由△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得c的值，再根据余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）△ABC中，由$\frac{b}{a-b}$=$\frac{sinC}{sinA-sinC}$，可得$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinC}$，利用正弦定理可得$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$，
∴sinB=sinC，故有B=C，即△ABC为等腰三角形．
（2）∵a=2，B=$\frac{π}{6}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$×2×c×sin$\frac{π}{6}$，∴c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
再由余弦定理可得b²=a²+c²-2ac•cosB=4+$\frac{4}{3}$-2×2$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{3}$，∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．