Question

已知圆锥曲线

x=3cosθ y=2 2 sinθ

(θ是参数）和定点A(0，

3

3

)，F₁、F₂是圆锥曲线的左、右焦点．
（1）求经过点F₂且垂直地于直线AF₁的直线l的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数中的平方关系消去参数θ即可将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线l的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式即得．
（2）设P（ρ，θ）是直线AF₂上任一点，利用正弦定理列出关于ρ，θ的关系式，化简即得直线AF₂的极坐标方程．

解答：解：（1）圆锥曲线

x=3cosθ y=2 2 sinθ

化为普通方程

x2

9

+

y2

8

=1，
所以F₁（-1，0），F₂（1，0），则直线AF₁的斜率k=

3

3

，
于是经过点F₂垂直于直线AF₁的直线l的斜率k1=-

3

，直线l的倾斜角是120°，
所以直线l的参数方程是

x=1+tcos120° y=tsin120°

（t为参数），
即

x=- 1 2 t+1 y= 3 2 t

（t为参数）．（6分）
（2）直线AF₂的斜率k=-

3

3

，倾斜角是150°，
设P（ρ，θ）是直线AF₂上任一点，
则

ρ

sin30°

=

1

sin(150°-θ)

，ρsin（150°-θ）=sin30°，（8分）
所以直线AF₂的极坐标方程：

3

ρsinθ+ρcosθ=1．（10分）

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．