Question

已知函数f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

），x∈R
（1）求函数图象的对称中心
（2）已知cos(β-α)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求证：[f（β）]²-2=0．
（3）求f(

π

4

)+f(

2π

4

)+f(

3π

4

)+f(π)+…f(

2011π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式将f（x）转化为f（x）=2sin（x-

π

4

），利用正弦函数的性质即可求得函数图象的对称中心；
（2）利用利用两角和与差的正弦与余弦可求得sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]，再利用二倍角的余弦即可可证得结论；
（3）由f（x）=2sin（x-

π

4

），可求得f（

π

4

）+f（

π

2

）+f（

3π

4

）+f（π）+f（

5π

4

）+f（

6π

4

）+f（

7π

4

）+f（

8π

4

）=0，利用函数的周期性即可求得答案．

解答：解析：（1）∵f（x）=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx
=

2

（sinx-cosx）
=2sin（x-

π

4

），
∴x-

π

4

=kπ，即x=kπ+

π

4

，
∴（kπ+

π

4

，0）（k∈Z）为对称中心；
（2）∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴

π

2

＞β-α＞0，π＞β+α＞0，
∵cos（β-α）=

4

5

，
∴sin（β-α）=

3

5

．
∵cos（α+β）=-

4

5

，
∴sin（α+β）=

3

5

．
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）=

3

5

•

4

5

-（-

4

5

）•（-

3

5

）=0，
[f（β）]²-2=4sin2(β-

π

4

)-2=2[1-cos（2β-

π

2

）]=-2sin2β=0，
所以，结论成立．
（3）∵f（x）=2sin（x-

π

4

），
∴f（

π

4

）+f（

π

2

）+f（

3π

4

）+f（π）+f（

5π

4

）+f（

6π

4

）+f（

7π

4

）+f（

8π

4

）=0，
∴原式=251[f（

π

4

）+f（

π

2

）+f（

3π

4

）+f（π）+f（

5π

4

）+f（

6π

4

）+f（

7π

4

）+f（

8π

4

）]+f（

π

4

）+f（

π

2

）+f（

3π

4

）
=0+

2

+2
=2+

2

．

点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查二倍角公式的应用，考查函数的周期性与函数的求值，综合题强，难度大，属于难题．