Question

已知函数f(x)=

1

2

cos2x-sinxcosx-

1

2

sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：先根据二倍角公式和辅角公式将函数化简为f（x）=Acos（wx+ρ）的形式
（1）根据T=

2π

w

可得到答案．
（2）将2x+

π

4

看作一个整体，由余弦函数的对称性可得到答案．
（3）将2x+

π

4

看作一个整体，由余弦函数的单调性可得到答案．

解答：解：f(x)=

1

2

[(cos2x-sin2x)-2sinxcosx]
=

1

2

(cos2x-sin2x)
=

2

2

cos(2x+

π

4

)
（I）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）2x+

π

4

=kπ，则x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
∴f（x）函数图象的对称轴方程是x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
（注：若写成x=kπ-

π

8

或x=kπ+

3π

8

，k∈Z也可以）
（III）令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π
则kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z令2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ
则kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z
故f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]，k∈Z.
f（x）的单调减区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z.

点评：本题主要考查三角函数的化简和性质．对于三角函数的性质--周期、对称性、单调性是高考的热点，要熟练掌握．