题目内容

已知函数f(x)=x-
2
x
+1-alnx，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．
（I）∵函数f(x)=x-
2
x
+1-alnx，a＞0
∴f′（x）=1+
2
x2
-
a
x
，x＞0
令t=
1
x
＞0
y=2t2-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2
2
，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②△=a2-8＞0，即：a＞2
2
，y=0有两个不等根
由2t2-at+1＞0，得t＜
a-
a2-8
4
或t＞
a+
a2-8
4
，又x＞0
∴0＜x＜
a-
a2-8
2
或x＜0或x＞
a+
a2-8
2

由2t2-at+1＜0，得
a-
a2-8
2
＜t＜
a+
a2-8
2

∴
a-
a2-8
2
＜x＜
a+
a2-8
2

综上：①0＜a≤2
2
，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②a＞2
2
函数f（x）(0，
a-
a2-8
2
)，(
a+
a2-8
2
，+∞)上是增函数，在(
a-
a2-8
2
，
a+
a2-8
2
)上是减函数，
（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e2）=e2-
2
e2
-5＞0
∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2-3ln2，e2-
2
e2
-5]
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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