Question

已知命题①：函数y=ax²-2ax+a+1的图象总在x轴上方；命题②：关于x的方程（a-1）x²+（2a-4）x+a=0有两个不相等的实数根．
（1）若命题①为真，求a的取值范围；
（2）若命题②为真，求a的取值范围；
（3）若命题①、②中至多有一个命题为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，y=1，符合题意；当a≠0时，由

a＞0 △＜0

求得a的取值范围．
（2）方程两个不相等的实数根?

a-1≠0 △＞0

?

a≠1 a＜ 4 3

，由此求得a的取值范围．
（3）设A={a|a≥0}，B={x|a＜1或1＜a＜

4

3

}，若命题①、②全都是真命题，则a的范围为A∩B，则A∩B的补集为所求．

解答：解：（1）a=0时，y=1，符合题意；
当a≠0时，由

a＞0 △＜0

求得 a＞0，故a的取值范围为[0，+∞）． …（4分）
（2）方程两个不相等的实数根?

a-1≠0 △＞0

?

a≠1 a＜ 4 3

，
即a＜1或1＜a＜

4

3

，故a的取值范围为（-∞，1）∪（1，

4

3

）． …（10分）
（3）设A={a|a≥0}，B={x|a＜1或1＜a＜

4

3

}，若命题①、②全都是真命题，
则a的范围为 A∩B={a|0≤a＜1或1＜a＜

4

3

}，
故当命题①、②中至多有一个命题为真时，
a的取值范围是?U(A∩B)={a|a＜0或a=1或a≥

4

3

}．…（16分）

点评：本题主要考查命题的真假的判断，二次函数的性质应用，属于基础题．