Question

如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3。
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM=∠BNM。

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆C的半径为a（a>0），则由题意得圆 心坐标为（a，2），
因为|MN|=3，所以，
故圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：把y=0代入方程，解得x=1，或x=4，
即点M（1，0），N（4，0）.，
（i）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
由，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
因为点M在圆O内，所以上述方程有两实根，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
从而
因为
，
而（x₁-1）（x₂-4）+（x₂-1）（x₁-4）
=2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8

，
所以，即k_AN+k_BN=0，故∠ANM=∠BNM，
（ii）当直线AB⊥x轴时，∠ANM=∠BNM成立，
所以∠ANM=∠BNM。