Question

（本小题满分14分）

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

（本小题满分14分）

（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）

（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．…………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………8分

以下给出求三棱锥体积的两种方法：

方法1：由（1）知，平面，

所以．…………………………………………10分

因为，，

所以，即．

其中，因为，，

所以．…………………………………13分

所以．…………………………………………………14分

方法2：因为，

所以．………10分

其中，因为，，

所以．…………………………13分

所以．………………………………………14分