Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n⇒a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₁=1，a₂=3，从而可证数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），利用累加法，借助等比数列的求和公式即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答：证明：（Ⅰ）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2（n∈N^*）．
∵a₁=1，a₂=3，
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）．

点评：本题考查数列的概念及简单表示法，考查等比关系的确定及等比数列的求和，考查转化与分析推理能力，属于中档题．