Question

设函数f(x)=

1

2

x

2

+2x+klnx，其中k≠0．
（1）当k＞0时，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）讨论f（x）的极值点．

Answer 1

分析：先求导数f′(x)=

(x+1)2+k-1

x

，（1）当k＞0时，可得导数恒正，故在定义域上单调递增；
（2）分类讨论，当k＞0时，f′（x）=0在（0，+∞）没有根，f（x）没有极值点；当k＜0时，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根x0=

1-k

-1，由极值的定义可得答案．

解答：解：f′(x)=x+2+

k

x

=

x2+2x+k

x

=

(x+1)2+k-1

x

…（3分）
（1）当k＞0时，f′(x)=x+2+

k

x

＞0在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）函数的定义域是（0，+∞）．
令f′(x)=

(x+1)2+k-1

x

=0，得（x+1）²=1-k≥（0+1）²=1，所以
当k＞0时，f′（x）=0在（0，+∞）没有根，f（x）没有极值点；
当k＜0时，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根x0=

1-k

-1，
因为在（0，x₀）上f′（x）＜0，在（x₀，+∞）上f′（x）＞0，
所以x₀是f（x）唯一的极小值点．…（12分）

点评：本题为导数和极值的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．