Question

若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上无实数根，则函数g（x）=（a-）（x³-3x+4）的单调递减区间是（ ）
A．（-2，2）
B．（-1，1）
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1），（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由已知中函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上无实数根，由函数零点与方程根的关键，结合零点存在定理，构造关于a的不等式，求出a的取值范围，进而判断出函数g（x）=（a-）（x³-3x+4）的单调性．
解答：解：函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上无实数根
则f（-1）•f（1）＞0
即（-5a+1）•（a+1）＞0
解得-1＜a＜
则a-＜0，
则函数g（x）=（a-）（x³-3x+4）的单调性，与y=x³-3x+4的单调性相反
∵y′=3x²-3，则当x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，y=x³-3x+4为增函数
则函数g（x）=（a-）（x³-3x+4）的单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）
故选D
点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，函数单调性的性质，其中根据函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上无实数根，结合零点存在定理，构造关于a的不等式，求出a的取值范围，是解答本题的关键．