题目内容

由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P（t）（单位：吨）与上市时间t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE表示，销售价格Q（t）（单位：元/千克）与上市时间t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR表示（H为顶点）．
（Ⅰ）请分别写出P（t），Q（t）关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线 围成的平面区域为M，动点P（x，y）在M内（包括边界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），将动点P（x，y）所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1≤2x-3y≤3类比为1≤
x2y3
≤3），试列出P（x，y）所满足的条件，并求出相应的最大值．
分析：（I）根据函数图象写出函数P（t），Q（t）的解析式，则销售额为P（t）•Q（t），然后利用导数研究函数的单调性，从而求出最值；
（II）将目标函数z=x-5y用（x+y）与（x-y）线性表示，然后根据不等式的基本性质进行求解即可；
（III）类比到乘法有已知
5≤xy≤11
1≤
x
y
≤7
，求z=
x
y5
的最大值，然后根据
x
y5
=（xy）A•（
x
y
）B求出A和B的值，最后根据不等式的基本性质进行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）P(t)=
-t+5
 &0≤t≤3
t-1
 &3＜t≤6，
-t+11
 &6＜t≤9，
t-7
 &9＜t≤12
Q(t)=-
1
16
(t-4)2+6
 &(0≤t≤12
．P(t)•Q(t)=(t-1)[-
1
16
(t-4)2+6]（3＜t≤6）
(P(t)•Q(t))′=-
3
16
[(t-3)2-33]＞0在t∈（3，6]恒成立，所以函数在（3，6]上递增
当t=6时，[P（t）•Q（t）]max=28.75．
∴6月份销售额最大为34500元．
（Ⅱ）      
5≤x+y≤11
1≤x-y≤7
，z=x-5y．
令x-5y=A（x+y）+B（x-y），则
A+B=1
A-B=-5
⇒
A=-2
B=3
，
∴z=x-5y=-2（x+y）+3（x-y）．由-22≤-2（x+y）≤-10，3≤3（x-y）≤21，
∴-19≤z≤11，则（z）max=11．
（Ⅲ）类比到乘法有已知
5≤xy≤11
1≤
x
y
≤7
，求z=
x
y5
的最大值．由
x
y5
=（xy）A•（
x
y
）B
A+B=1
A-B=-5
⇒
A=-2
B=3
．
∴
1
121
≤(xy)-2≤
1
25
，1≤（xy）3≤343
∴
1
121
≤z≤
343
25
，则（z）max=
343
25
．
点评：本题主要考查了分段函数的应用，以及研究目标函数的最值问题，同时考查了类比推理，属于中档题．
练习册系列答案
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300-t(当0≤t≤200)
2t-300(当200＜t≤300)
，西红柿的种植成本Q与上市时间t满足关系Q=
1
200
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（1）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（2）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；
(3) 由（2），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．

                   

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