Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+16）=f（x）+f（8）成立，若函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则
f（2008）=（　　）

A．0

B．1008

C．8

D．2008

Answer 1

分析：由函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=-8可求f（8）及函数的周期，利用所求周期即可求解

解答：解：∵函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数
∵f（x+16）=f（x）+f（8）
令x=-8可得f（8）=f（-8）+f（8）=2f（8），则f（8）=0
从而可得f（x+16）=f（x）即函数是以16为周期的周期函数
∴f（2008）=f（125×16+8）=f（8）=0
故选A

点评：本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在