题目内容

已知函数f（x）=alnx+ $数学公式$ （a≠0）在（0， $数学公式$ ）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若．x₁∈（0， $数学公式$ ），x₂∈（2，∞）且a∈[ $数学公式$ ，2]时，求证：，f（x₁）-f（x₂）≥ln2+ $数学公式$ ．

解：（I）由f（x）=alnx+ $\text{[math]}$ （a≠0），
得： $\text{[math]}$ ，
∵a≠0，令 $\text{[math]}$ ，
∴g（0）=1＞0．
令 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
则0＜a＜2．
（II）由（I）得： $\text{[math]}$ ，
设ax²-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，
则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
当x∈（0，α）和（β，+∞）时， $\text{[math]}$ ，
函数f（x）单调递增；
当x∈ $\text{[math]}$ 和（2，β）时， $\text{[math]}$ ，
函数f（x）单调递减，
则f（x₁）≤f（a），f（x₂）≥f（β），
则f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）=alnβ $\text{[math]}$ -alnα- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （利用 $\text{[math]}$ ）
令 $\text{[math]}$ ，x＞2
则 $\text{[math]}$ ，
则函数h（x）单调递增，
h（x）≥h（2）=2ln2+ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
∴f（x₁）-f（x₂）≥ln2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由f（x）=alnx+ $\text{[math]}$ （a≠0），得： $\text{[math]}$ ，由a≠0，令 $\text{[math]}$ ，知g（0）=1＞0．由此能求出实数a的范围．
（II）由（I）得： $\text{[math]}$ ，设ax²-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．由此入手能够证明f（x₁）-f（x₂）≥ln2+ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查实数的取值范围的求法和不等式的证明，考查利用导数求闭区间上最值的应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．