Question

【题目】已知两曲线f（x）= x2+ax与g（x）=2a2lnx+b有公共点，且在该点处有相同的切线，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（ ）
A.e
B.2e
C.e
D. e

Answer 1

【答案】A
【解析】解：f（x）= x2+ax与g（x）=2a2lnx+b， 设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0 ， y0）处的切线相同、
f′（x）=x+a，g′（x）= ，
由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
即 x02+ax0=2a2lnx0+b，x0+a= ，
得x0=a或x0=﹣2a（舍去），
即有b= a2+a2﹣2a2lna= a2﹣2a2lna．
令h（t）= t2﹣2t2lnt（t＞0），
则h′（t）=t（1﹣4lnt）、
于是当t（1﹣4lnt）＞0，即0＜t＜e 时，h′（t）＞0；
当t（1﹣4lnt）＜0，即t＞e 时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e ）= e ﹣2e =e ，
故b的最大值为e ．
故选：A．