题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对任意正整数n都成立，其中m为常数，m＜-1
（1）求证：{a_n（2）}是等比数列；
（3）设数列{a_n（4）}的公比q=f（m）（5），数列{b_n}（6）满足： $数学公式$ （7），b_n=f（b_n-1）（8）（n≥2，n∈N）（9），求数列{b_nb_n+1}（10）的前n（11）项和T_n（12）

解：（1）由已知S_n+1=（m+1）-ma_n+1（1）S_n=（m+1）-ma_n（2）
由（1）-（2）得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即（m+1）a_n+1=ma_n对任意n∈N^*都成立．∵m为常数，且m＜-1．
又∵a₁=1≠0∴ $\text{[math]}$ ，即数列{a_n}等比数列（5分）
（2）当n=1时，a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，从而 $\text{[math]}$ ，由（1）得，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，即（m+1）a_n+1=ma_n对任意n∈N^*都成立．所以 $\text{[math]}$ ，由此知数列{a_n}等比数列．
（2）因为a₁=1，从而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此入手能求出T_n．
点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．