Question

已知函数在[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：当a＞1时，根据复合函数的单调性，检验不满足条件．当0＜a＜1时，根据复合函数的单调性，检验不满足条件．
再由对数函数的定义域可得，2-ax² 在[0，2]上大于零恒成立，2-4a＞0，由此求得实数a的取值范围．
解答：解：当a＞1时，由于y=log_at 是（0，+∞）上的增函数，t=2-ax²是[0，2]上的减函数，
根据复合函数的单调性可得函数在[0，2]上单调递减，故不满足条件．
当0＜a＜1时，由于y=log_at 是（0，+∞）上的减函数，t=2-ax²是[0，2]上的减函数，
故函数在[0，2]上单调递增，满足条件．
再由对数函数的定义域可得，2-ax² 在[0，2]上大于零恒成立．
故有 2-4a＞0，解得 a＜，故实数a的取值范围为 ，
故答案为 ．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性，属于中档题．