Question

（2012•武昌区模拟）已知函数f（x）=2cos2x-sin(2x-

7π

6

)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，b+c=2，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及bc≤(

b+c

2

)2=1，即可求得实数a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x-sin(2x-

7π

6

)=（1+cos2x）-（sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

）
=1+

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=1+sin（2x+

π

6

）．
∴函数f（x）的最大值为2．
要使f（x）取最大值，则sin（2x+

π

6

）=1，∴2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴x=kπ+

π

6

（k∈Z）．
故x的取值集合为{x|x=kπ+

π

6

（k∈Z）}．
（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，化简得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc．
由b+c=2，知bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1．
∴当b=c=1时，实数a取最小值1．

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，综合性强．