Question

已知函数f（x）=2x+αlnx（α∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的最小值为?（α），求?（α）的最大值；
（3）若函数f（x）的最小值为妒?（α），m，n为?（α）定义域A内的任意两个值，试比较   

?(m)+?(n)

2

与?(

m+n

2

)的大小．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′（x）=2+

a

x

，对a讨论，可得函数的单调性；
（2）由（1）知，当a≥0时，函数无最小值；当a＜0时，x=-

a

2

时，函数取得最小值?（α）=f（-

a

2

）=-a+aln（-

a

2

）
求导函数，确定函数的单调性，从而确定函数的极值与最值；
（3）?（α）=-a+aln（-

a

2

），则m，n为?（α）定义域A内的任意两个值时，作差可得 

?(m)+?(n)

2

-?(

m+n

2

)=

n

2

(

m

n

ln

2• m n

m n +1

+ln

2

m n +1

)，再换元，构造新函数，确定函数的单调性，从而得出结论．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′（x）=2+

a

x

当a≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增；
当a＜0时，令f′（x）＞0可得x＞-

a

2

；令f′（x）＜0可得0＜x＜-

a

2

，∴函数在（0，-

a

2

）上单调减，在（-

a

2

，+∞）上单调增；
（2）由（1）知，当a≥0时，函数无最小值；当a＜0时，x=-

a

2

时，函数取得最小值?（α）=f（-

a

2

）=-a+aln（-

a

2

）
求导函数可得?′（α）=-1+ln（-

a

2

）+1=ln（-

a

2

），令?′（α）=0，可得a=-2
∴当a＜-2时，?′（α）＞0；当-2＜a＜0时，?′（α）＜0
∴函数在a=-2时取得极大值，且为最大值?（-2）=2；
（3）?（α）=-a+aln（-

a

2

），则m，n为?（α）定义域A内的任意两个值时，

?(m)+?(n)

2

-?(

m+n

2

)=

1

2

[mln(-

m

2

)+nln(-

n

2

)-(m+n)ln(-

m+n

4

)]=

n

2

(

m

n

ln

2• m n

m n +1

+ln

2

m n +1

)
不妨设m＜n＜0，则

m

n

＞1，令t=

m

n

（t＞1），则

?(m)+?(n)

2

-?(

m+n

2

)=

n

2

(tln

2t

t+1

+ln

2

t+1

)
记u（t）=tln

2t

t+1

+ln

2

t+1

=tln2t+ln2-（t+1）ln（t+1）（t＞1），则u′(t)=ln

2t

t+1

＞0，即函数u（t）单调递增，从而u（t）＞u（1）=0
∵

n

2

＜0，∴

?(m)+?(n)

2

-?(

m+n

2

)＜0
即

?(m)+?(n)

2

＜?(

m+n

2

)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查换元法的运用，难度较大．