Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0。
（1）当时，判断函数f（x）的定义域上的单调性；
（2）试讨论函数f（x）的极值情况，若极值存在，求出极值点。

Answer 1

解：（1）函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞）

令g（x）=2x²+2x+b，
则g（x）在上递增，在上递减，

当时，
g（x）=2x²+2x+b>0在（-1，+∞）上恒成立，
∴f'（x）>0，
即当时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增。
（2）分以下几种情形讨论：
①由（1）可知，当时函数f（x）无极值点；
②当时，f'（x），
∴时，f'（x）>0，
时，f'（x）>0，
∴时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点；
③当时，解f'（x）=0得两个不同解

当b＜0时，

∴x₁ （-1，+∞），x₂∈（-1，+∞）
此时f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点
当时，x₁，x₂∈（-1，+∞），
f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点
综上可知，b＜0时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x₂=
 时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点
时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点。