Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=

1

2

，an+1=

n+1

2n

an．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=n(2-Sn)，n∈N*，若集合M={n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列，求出首项和公比即可求等比数列的通项公式．
（2）利用“错位相减法”即可得出S_n．再研究数列{b_n}的单调性，即可得出λ的取值范围．

解答：（1）证明：∵数列{b_n}满足nb_n=a_n（n∈N^*），得bn=

an

n

．由a_n+1=

n+1

2n

a_n，可得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，∴bn+1=

1

2

bn．
又b1=a1=

1

2

，∴数列{b_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

1

2

，
∴bn=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）解：由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

2+n

2n

．
∴bn=n(2-2+

2+n

2n

)=

n(n+2)

2n

．
∴b_n+1-b_n=

(n+1)(n+3)

2n+1

-

n(n+2)

2n

=

-n2+3

2n+1

，
当n=1时，b2-b1=

3-1

22

＞0，∴b₂＞b₁．
当n≥2时，b_n+1-b_n＜0，∴b_n+1＜b_n．
又b1=

3

2

，b₂=2，b3=

15

8

，b4=

3

2

，b5=

35

32

，
若使集合{n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有4个元素，必须

35

32

＜λ≤

3

2

，实数λ的取值范围是(

35

32

，

3

2

]．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性、集合的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．