Question

如图1-11，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.

(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB？

(2)当△ACP ∽△PDB时，求∠APB的度数.

图1-11

Answer 1

思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似了，那么对应角相等，易求∠APB.

解：（1）∵△PCD是等边三角形，?

∴∠PCD=∠PDC=60°，PD =PC =CD.?

从而∠ACP =∠PDB =120°.?

∴当=时，△ACP∽△PDB,?

即当CD²=AC·BD时，△ACP∽△PDB.?

（2）当△ACP∽△PDB时,∠APB =∠APC+∠CPD +∠DPB?

=∠PBD +60°+∠DPB?

=60°+60°=120°.