Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足c=2bcosA．
（1）求证：A=B；
（2）若△ABC的面积S=

15

2

，cosC=

4

5

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用内角和定理及诱导公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式变形化简得证；
（2）由（1）得出的A=B，利用等角对等边得到a=b，由C为三角形的内角，以及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式，根据已知的面积列出关于a的方程，求出方程的解得到a与b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）由c=2bcosA，根据正弦定理，得：sinC=2sinBcosA，
又在△ABC中，A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）=2sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，
∴sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，
又A、B为三角形内角，
∴A=B；
（2）由（1）得A=B，∴a=b，
∵角C为三角形内角，且cosC=

4

5

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

5

，
又S=

15

2

，即S=

1

2

absinC=

1

2

a²×

3

5

=

15

2

，
解得：a=5，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=10，
解得：c=

10

．

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．