Question

（08年芜湖一中）已知在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中以为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．

(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的标准方程；

(2)射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点，且，求椭圆的标准方程；

(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换,得抛物线．若，求数列的通项公式．

Answer 1

【解】(1) 由条件得，得：；（2分）

(2) “伸缩变换”，对作变换，得到，（3分）

解方程组得点A的坐标为；（4分）解方程组得点B的坐标为；（5分）＝＝，化简后得，解得，因此椭圆的方程为或．（9分）

(3)对：作变换得抛物线：得，又，即，（11分）＝,则，（13分）

（或解：）

又，．（14分）