Question

如图所示，已知PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C，PD⊥AB于D，PD、AO的延长线相交于E，连结CE并延长交⊙O于F，连结AF．

(1)求证：△PBD∽△PEC；

(2)若AB＝12，tan∠EAF＝，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：由切割定理，得PA²＝PB·PC．

　　由△PAD∽△PEA，

　　得PA²＝PD·PE．

　　所以PB·PC＝PD·PE．

　　又∠BPD为公共角，

　　所以△PBD∽△PEC．

　　(2)解：作OG⊥AB于G，由△PBD∽△PEC，可得∠PEC＝∠F，

　　因此PE∥AF．又OG⊥AB于G，所以AG＝AB＝6．

　　所以OG∥ED∥FA．

　　所以∠AOG＝∠EAF．

　　在Rt△AOG中，tan∠AOG＝，

　　又＝，所以OG＝9．

　　由勾股定理，可得

　　AG²＋OG²＝AO²，

　　所以AO＝＝3．

　　所以⊙O的半径长为3．

　　分析：在(1)中，要证相似的两个三角形已经有一个角相等，只要再证其夹边对应成比例即可，而这可由△PAD∽△PEA得到；

　　在(2)中，已知tan∠EAF＝，所以需构造直角三角形，从而利用三角函数求解．

提示：

已知条件中或图形中出现切线、割线等相关的条件时，通常需要借助于切割线定理建立线段之间的关系．