题目内容
（本小题满分14分）
已知双曲线
的一个焦点为(
,0),一条渐近线方程为
,其中
是以4为首项的正数数列,记
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若数列的前n项的和为Sn,求
;
(Ⅲ)若不等式
+
(a>0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.
解: (Ⅰ)∵双曲线方程为的一个焦点为(
,0),∴
.
又∵一条渐近线方程为,∴
.∴
=2.
∵a1=4,∴是以4为首项的等比数列,an=2n+1.∴cn=3·2n.
(Ⅱ) Sn=c1+c2+…+cn=3(2+22+…+2n)=6(2n－1).
∵ancn=3·22n+1,
∴
∴
(Ⅲ)T=
,①
T=
,②
①－②得T=
,
故原不等式等价于
(n∈N*)恒成立,即
恒成立,
∴≥0恒成立,
故(ⅰ)当a>1时,x≥1.(ⅱ)当0<a<1时,0<x≤1.
解析
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(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）