Question

已知直线与曲线交于A、B两点。

（1）当时，有，求曲线的方程；

（2）当实数a为何值时，对任意，都有为定值？指出的值；

（3）是否存在常数，使得对于任意的，，都有恒成立？

如果存在，求出的得最小值；如果不存在，说明理由。如果存在，求出的得最小值；如果不存在，说明理由。

Answer 1

（1）当时，则直线与曲线的两交点分别

为， 由， 解得

故曲线的方程是

  （2）假设存在这样的常数a，由消去y

得：则有 

      关于恒成立，则有

 解得： ，

而当时，，且方程判别式

   故当时，对任意，都有，此时

（3）假设存在常数，使得对于任意的，，

都有恒成立

    即=

当时，    只需成立，  即

时，，只需，  即，

故的最小值是0。

故存在常数，使得对于任意的，，都有恒成立，且的最小值是0。