Question

已知集合A=｛x|ax²-3x+2=0，x∈R｝，若集合A中元素至多有一个，求实数a的取值范围.

Answer 1

思路解析：集合A为数集，其元素x表示方程的解，求集合中元素个数转化为求方程解的个数问题.

解法一：（1）a=0时，方程为-3x+2=0，解得x=，符合题意.

（2）a≠0时，方程ax²-3x+2=0为一元二次方程.

集合A中至多有一个元素即表明一元二次方程无根或有两个相等的实根，即Δ=9-8a≤0，解得a≥.

综合（1）（2）可知，实数a的取值范围是｛a|a=0,或a≥｝.

解法二：方程ax²-3x+2=0有两个不相等的实数根需满足条件：解得a＜,且a≠0.

取其补集，则使方程ax²-3x+2=0无实根或只有一个实根或有两个相等的实数根，因此，所求a的范围是｛a|a=0,或a≥｝.

深化升华

解法一运用了分类讨论思想，考查了含字母的的系数的方程、集合中元素的互异性及对空集涵义的理解.

解法二运用补集思想，体现了“正难则反”的解题策略，当问题从正面求解困难或麻烦时，可考虑先求解问题的反面，巧妙地运用“补集思想”，使问题化繁为简，化难为易.