题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（m+1）﹣man对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜﹣1．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比q=f（m），数列{bn}满足：
，bn=f（bn﹣1）
（n≥2，n∈N），求证：数列{
}是等差数列，并求数列{bnbn+1}的前n项和．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比q=f（m），数列{bn}满足：
，bn=f（bn﹣1）（n≥2，n∈N），求证：数列{
}是等差数列，并求数列{bnbn+1}的前n项和．解：（1）由已知Sn=（m+1）﹣man；Sn+1=（m+1）﹣man+1，相减，
得：an+1=man﹣man+1，即
=
，
所以{an}是等比数列
（2）当n=1时，a1=m+1﹣ma1，则a1=1，从而b1=
，
由（1）知q=f（m）=
，
所以bn=f（bn﹣1）=
（n≥2）
∴
=1+
，
∴数列{
}是首项为
，公差为1的等差数列
∴
=3+（n﹣1）=n+2，
故：bn=
（n≥1），
∴bnbn+1=
=
；
∴数列{bnbn+1}的前n项和A=（
﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）=
﹣
=
．
得：an+1=man﹣man+1，即
=，所以{an}是等比数列
（2）当n=1时，a1=m+1﹣ma1，则a1=1，从而b1=
，由（1）知q=f（m）=
，所以bn=f（bn﹣1）=
（n≥2）∴
=1+，∴数列{
}是首项为，公差为1的等差数列∴
=3+（n﹣1）=n+2，故：bn=
（n≥1），∴bnbn+1=
=；∴数列{bnbn+1}的前n项和A=（
﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=．
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