Question

已知A（1，

2

）是离心率为

2

2

的椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A（1，

2

）是离心率为

2

2

的椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，确定B，C的坐标，即可求出直线BC的斜率为定值；
（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定三角形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：（1）解：∵椭圆的离心率为

2

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²
∴椭圆方程为

y2

2b2

+

x2

b2

=1
∵A（1，

2

）是椭圆上的点，
∴

2

2b2

+

1

b2

=1
∴b²=2
∴椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）证明：设直线AB的方程为y-

2

=k(x-1)，代入椭圆方程可得（k²+2）x²-2k(k-

2

)x+（k2-2

2

k-2）=0，∵x=1是方程的一个实根，
∴由韦达定理得，1+x_B=

2k(k- 2 )

k2+2

，故x_B=

k2-2 2 k-2

k2+2

，
∴yB=k(xB-1)+

2

=

- 2 k2-4k+2 2

k2+2

，
∴B（

k2-2 2 k-2

k2+2

，

- 2 k2-4k+2 2

k2+2

），
∵AB、AC的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，用-k代替k可得
C（

k2+2 2 k-2

k2+2

，

- 2 k2+4k+2 2

k2+2

），∴kBC=

yB-yC

xB-xC

=

8k

4 2 k

=

2

（3）解：设BC的方程为y=

2

x+m，由

y2 4 + x2 2 =1 y= 2 x+m

可得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
设方程的两根为x₁，x₂，于是|BC|=

3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2 (8-m2)

，
又A（1，

2

）到直线BC的距离为d=

|m|

3

，
∴S△ABC=

1

2

•

3 2 (8-m2)

•

|m|

3

=

2

4

•

m2(8-m2)

≤

2

4

×4=

2

，
当且仅当m²=4时等号成立，故△ABC的面积的最大值为

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．