Question

4．设圆C是以C（4，0）为圆心，2为半径的圆．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）过极点O作直线与圆C交于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：（x-4）²+y²=4，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；
（2）设直线PQ的方程为：y=kx，线段PQ的中点M（x，y）．与圆的方程联立可得：（1+k²）x²-8x+12=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式联立消去k可得：x²+y²=4x，即为弦PQ的中点M的轨迹方程，化为极坐标方程即可，注意范围．

解答 解：（1）由已知可得：（x-4）²+y²=4，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-8ρcosθ+12=0．
（2）设直线PQ的方程为：y=kx，线段PQ的中点M（x，y）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-4）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（1+k²）x²-8x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{1+{k}^{2}}$=2x，∴$x=\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
∴y=kx=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
联立消去k可得：x²+y²=4x，即为弦PQ的中点M的轨迹方程，
化为极坐标方程：ρ=4cosθ$（θ∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}））$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．