Question

已知数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为，试求数列的前n项和T_n；
（Ⅲ）记数列的前n项积为，试证明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a_n-1a_n+a_na_n+1=2a_n-1a_n+1，两边同除以a_na_n-1a_n+1即可．而，故是首项为1，公差为1的等差数列．
（II）利用b_n=即可得到b_n，可得=，利用“错位相减法”即可得到T_n；
（III）因为．利用“累乘求积”即可得出=．进而即可证明．
解答：解：（Ⅰ）由
．
而，
因此是首项为1，公差为1的等差数列．
从而．
（Ⅱ）当n=1时，．
当n≥2时，．
而b₁也符合上式，故，从而：．
所以．
将上面两式相减，可得：．
（Ⅲ）因为．
故．
由于n≥2，n∈N^*，故，从而，即．
点评：本题考查数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式和前n项和求通项以及“错位相减法”、“累乘求积”等基础知识，突出考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识，是一道十分重视基础但又有比较好区分度的中等题．