题目内容
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．
（Ⅰ）f′(x)=
+lnx-1=lnx+
，
xf'（x）=xlnx+1，
题设xf'（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)=
-1
当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+
-1)=lnx-x(ln
-
+1)≥0
所以（x-1）f（x）≥0
| x+1 |
| x |
| 1 |
| x |
xf'（x）=xlnx+1，
题设xf'（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)=
| 1 |
| x |
当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
所以（x-1）f（x）≥0
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|