Question

如图,正方形ABCD和ABEF的边长均为1,且它们所在的平面互相垂直,G为BC的中点.

(1)求点G到平面ADE的距离;

(2)(理)求直线AD与平面DEG所成的角;

(文)求二面角EGDA的正切值.

Answer 1

解：(1)∵BC∥AD,AD面ADE,∴点G到面ADE的距离即点B到面ADE的距离.

连结BF交AE于H,则BF⊥AE,又BF⊥AD,∴BH即为点B到面ADE的距离.

在Rt△ABE中,BH=.∴点G到面ADE的距离为.

(2)(理)设DE中点为O,连结OG、OH,则OHAD,BGAD.

∴四边形BHOG为平行四边形.

∴GO∥BH.由(1),BH⊥面ADE,∴GO⊥面ADE.

又OG面DEG,∴面DEG⊥面ADE.∴过点A作AM⊥DE于M,则AM⊥面DEG.∴∠ADE为直线AD与面DEG所成的角.

在Rt△ADE中,tan∠ADE=.∴∠ADE=arctan.∴AD与平面DEG所成的角为arctan2.

(文)过点B作BN⊥DG于点N,连结EN,由三垂线定理,知EN⊥DN.

∴∠ENB为二面角EGDA的平面角.

在Rt△BNG中,sin∠BGN=sin∠DGC=,∴BN=BG·sin∠BGN=·=.

则在Rt△EBN中,tan∠ENB=.

∴二面角EBDA的正切值为.