Question

给出如下四个命题：
①?x∈（0，+∞），x²＞x³；
②?x∈（0，+∞），x＞e^x；
③函数f（x）定义域为R，且f（2-x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
④若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域为R，则a≤-4或a≥0；
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的题号）

Answer 1

【答案】分析：令x=1，可判断①的真假；
构造函数f（x）=e^x-x，利用导数法法分析其值域，即可判断②的真假；
利用函数对称变换法则“对称变换二倍减，横向减里边，纵向减外边”的口决，可判断③的真假；
根据对数函数的性质，分析出内函数值域A?（0，+∞），进而根据二次函数的图象和性质求出a的范围可得④的真假；
解答：解：当x=1时，x²=x³=1，故①为假命题；
令f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=1恒成立，故②为假命题；
根据函数图象对称变换法则，可得若f（2-x）=f（x）恒成立，则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③为真命题；
若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域为R，设函数y=x²+ax-a的值域为A，则A?（0，+∞），即△=a²+4a≥0，解得a≤-4或a≥0，故④为真命题；
故答案为：③④
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的图象与性质，函数图象的对称变换法则，是解答的关键．