Question

已知函数

(1) 求函数的单调区间和极值；

(2) 求证：当时，

(3) 如果，且，求证：

Answer 1

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明.

【试题解析】解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　　(2分)

令=0，解得.

		1
	＋	0	－
	↗	极大值	↘

∴在内是增函数，在内是减函数. 　　　　　　　　　　(3分)

∴当时，取得极大值=.　                              (4分)

⑵证明：,则

=.　　　　　　　　　　　　   　(6分)

当时，＜0，＞2，从而＜0，

∴＞0，在是增函数.

  　　　 　 　　　　 (8分)

⑶证明：∵在内是增函数，在内是减函数.

∴当，且时，、不可能在同一单调区间内.

不妨设，

由⑵的结论知时，＞0，∴.

∵，∴.

又，∴　　　　　　　　　　　　　　(12分)