Question

已知圆C：x²+y²=16，点P（3，

7

）．
（1）求以点P（3，

7

）为切点的圆C的切线所在的直线方程；
（2）求经过点P（3，

7

）且被圆C：x²+y²=16截得的弦长为2

7

的直线方程．

Answer 1

分析：（1）算出直线OP的斜率k=

7

3

，从而由切线的性质得切线的斜率k'=

-1

k

=-

3 7

7

，再由直线方程的点斜式列式，即可得到所求以点P为切点的圆C的切线方程；
（2）由垂径定理，算出直线到圆心的距离为d=3，利用点到直线的距离公式算出所求直线的斜率m=-

7

21

，得直线方程为x+3

7

y-24=0．再检验得当直线斜率不存在时，x=3也符合题意，即可得到所求两条直线方程．

解答：解：（1）∵圆C：x²+y²=16的圆心为O（0，0），切点为P（3，

7

）
∴直线OP的斜率k=

7

3

，可得切线的斜率k'=

-1

k

=-

3 7

7

因此，以点P（3，

7

）为切点的圆C的切线，
所在的直线方程为y-

7

=-

3 7

7

（x-3），化简得3x+

7

y-16=0；
（II）设所求直线方程为y-

7

=m（x-3），即mx-y+

7

-3m=0
∵圆C：x²+y²=16的半径为r=4，
∴设直线到圆心的距离为d，则d=

r2-( 7 )2

=3
可得

| 7 -3m|

m2+1

=3，解之得m=-

7

21

，得直线方程为x+3

7

y-24=0
经检验，可得当直线斜率不存在时，x=3也符合题意
综上所述，可得所求直线方程为x=3或x+3

7

y-24=0．

点评：本题给出直线经过定点，求满足条件的定圆切线和割线的方程，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．