Question

【题目】如图，曲线C由上半椭圆 和部分抛物线 连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为 ．

（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C1 ， C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得PQ为直径的圆恰好过点A，若存在直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在C1，C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点，

设C1的半焦距为c，由 及a2﹣c2=b2﹣1，

可得a=2，所以a=2，b=1

（2）

解：由（1），上半椭圆C1的方程为 ，

由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），

代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，

设点P的坐标为（xP，yP），

因为直线l过点B，所以x=1是方程的一个根，

由求根公式，得 ，所以点P的坐标为 ，

同理，由 ，得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），

所以 ，

依题意可知AP⊥AQ，所以 ，即 ，

即 ，

因为k≠0，所以k﹣4（k+2）=0，解得 ，

经检验， 符合题意，故直线l的方程为

【解析】（1）在C1 ， C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点，设C1的半焦距为c，由 及a2﹣c2=b2﹣1，联立解得a．（2）由（1），上半椭圆C1的方程为 ，由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为
y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设点P的坐标为（xP ， yP），由求根公式，得点P的坐标为 ，同理，由 ，得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），依题意可知AP⊥AQ，所以 ，即可得出k．